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電気電子

2変数関数の極値を求める

2016/08/30

問題

関数f(x,y)=(x^2+1)(y^3-y)の極値を求めよ

解答の方針

二変数関数が極値をもつ十分条件は以下のようになります。

関数f(x,y)が点(a,b)において連続な2次偏導関数を持ち、f_x(a,b)=f_y(a,b)=0であるとき、判別式をD=(f_{xy}(a,b))^2-f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)とすると次のことが成り立つ
・D<0, f_{xx}(a,b)>0ならばf(a,b)は極小値
・D<0, f_{xx}(a,b)<0ならばf(a,b)は極大値
・D>0のときf(a,b)は極値ではない。

以上を用いて解いていきます。

解答

a,bを求める

f_x=2x(y^3-y)
f_y=(3y^2-1)(x^2+1)

f_x(a,b)=2a(b^3-b)=0となるのは
a=0、またはb=\pm1のとき
f_y=(3b^2-1)(a^2+1)=0より
a=0のときb=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}b=\pm1のときaは存在しない。

f_y(a,b)=(3b^2-1)(a^2+1)=0となるのは
a^2+1>0なのでb=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}のとき
このときf_x(a,b)=2a(b^3-b)=0よりa=0

よって(a,b)=(0,\pm\frac{1}{\sqrt{3}})

判別式D

f_{xx}=2(y^3-y)
f_{xy}=2x(3y^2-1)
f_{yy}=6y(x^2+1)

よってD=0^2\pm2(\frac{1}{3\sqrt{3}})\cdot\frac{6}{\sqrt{3}}
b=-\frac{1}{\sqrt{3}}のときはD>0となるので極値にはならない)

f_{xx}(0,\frac{1}{\sqrt{3}})=-\frac{4}{3\sqrt{3}}
よってf(x,y)は点(0,\frac{1}{\sqrt{3}})で極大値-\frac{2}{3\sqrt{3}}をとる。

解説・補足

全体的には流れ作業になるのですが、f_x(a,b)=f_y(a,b)=0となる(a,b)を見つけ出すのが面倒なことがよくあります。
大学の先生っていじわるですね。

 

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