2変数関数の極値を求める

2015/11/26 2016/08/30

問題

関数 $f(x,y)=(x^2+1)(y^3-y)$ の極値を求めよ

解答の方針

二変数関数が極値をもつ十分条件は以下のようになります。

関数f(x,y)が点(a,b)において連続な2次偏導関数を持ち、 $f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$ であるとき、判別式を $D=(f_{xy}(a,b))^2-f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)$ とすると次のことが成り立つ
・D<0, $f_{xx}(a,b)$ >0ならばf(a,b)は極小値
・D<0, $f_{xx}(a,b)$ <0ならばf(a,b)は極大値
・D>0のときf(a,b)は極値ではない。

以上を用いて解いていきます。

解答

a,bを求める

$f_x=2x(y^3-y)$
$f_y=(3y^2-1)(x^2+1)$

・ $f_x(a,b)=2a(b^3-b)=0$ となるのは
a=0、または $b=\pm1$ のとき
$f_y=(3b^2-1)(a^2+1)=0$ より
a=0のとき $b=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ 、 $b=\pm1$ のときaは存在しない。

・ $f_y(a,b)=(3b^2-1)(a^2+1)=0$ となるのは
a^2+1>0なので $b=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき
このとき $f_x(a,b)=2a(b^3-b)=0$ よりa=0

よって $(a,b)=(0,\pm\frac{1}{\sqrt{3}})$

判別式D

$f_{xx}=2(y^3-y)$
$f_{xy}=2x(3y^2-1)$
$f_{yy}=6y(x^2+1)$

よって $D=0^2\pm2(\frac{1}{3\sqrt{3}})\cdot\frac{6}{\sqrt{3}}$
（ $b=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ のときはD>0となるので極値にはならない）

$f_{xx}(0,\frac{1}{\sqrt{3}})=-\frac{4}{3\sqrt{3}}$
よってf(x,y)は点 $(0,\frac{1}{\sqrt{3}})$ で極大値 $-\frac{2}{3\sqrt{3}}$ をとる。

解説・補足

全体的には流れ作業になるのですが、 $f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$ となる(a,b)を見つけ出すのが面倒なことがよくあります。
大学の先生っていじわるですね。

-電気電子
-微分積分