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電気電子

合成関数の偏微分

2016/08/30

問題

2回偏微分可能な関数f(x,y)に対して次を求めよ。
x=3t+1,\,y=t^2 のときの\frac{df}{dt} および\frac{d^{2}f}{dt^2}

解答の方針

合成関数の偏微分法

関数z=f(x,y)が全微分可能で、x,yがtで微分可能ならば
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}

を用いて解きます。

解答

合成関数の微分公式より、

\begin{aligned}\frac{df}{dt}&=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\\&=3f_x+2tf_y\\\\\frac{d^{2}f}{dt^2}&=3\frac{df_x}{dt}+2\frac{d(tf_y)}{dt}\\&=3\left(\frac{\partial f_x}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f_x}{\partial y}\frac{dy}{dt}\right)+2(t

解説・補足

今回はf(x,y)が2回偏微分可能な関数(C_2級の関数)だったのでf_x,\,f_yは存在するものとしました。

なぜ合成関数の偏微分法が上記の様になるかについては教科書を参照してください。

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