2変数関数f(x,y)の連続性

2015/11/22 2016/08/30

問題

次の関数の連続性を調べよ
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{x+y^{2}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}} &(x,y)\neq (0,0)\\\hfil 0 \hfil &(x,y)= (0,0) \end{cases}$

解答の方針

(x,y)≠(0,0)のときの関数が連続であることを確認してから、 $\frac {x+y^2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ のx,yを(0,0)に近づけていった際に(x,y)=(0,0)のときの値と同じ（この問題では0）になるかどうかを調べていきます。

解答

(x,y)≠(0,0)のとき

$x, x^{2}, y^{2}$ が連続であることは明らかで、それらの和は連続である（∵2変数関数の連続性の性質）
よって(x,y)≠(0,0)のとき連続

(x,y)=(0,0)のとき

方法1

点P(x,y)がy=mxに沿って原点O(0,0)に近づくものとすると
$\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac {x+y^{2}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$
$=\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac {x+{(mx)}^{2}}{\sqrt {x^{2}+{(mx)}^{2}}}$
$=\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac {1+{m}^{2}x}{\sqrt {1+{m}^{2}}}$
$=\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac {1}{\sqrt {1+{m}^{2}}}$

となり、 $\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} f(x,y)$ はmの値によって変化するため存在しない。
よって点(0,0)では不連続。

方法2

x=rcosθ, y=rsinθ とおくと
$\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac {x+y^{2}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$
$=\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac {r \cos \theta +{(r \sin \theta)}^{2}}{\sqrt {{(r \cos \theta)}^{2}+{(r \cos \theta)}^{2}}}$
$=\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac {r \cos \theta +{(r \sin \theta)}^{2}}{r}$
$=\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \cos \theta +{r{\sin}^{2} \theta}$

となり、 $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)$ はθの値によって変化するため存在しない。
よって点(0,0)では不連続。

解説・補足

この問題では点(0,0)で不連続となりましたが、当然(x,y)≠(0,0)のときの関数を(x,y)=(0,0)に近づけていった値が(x,y)=(0,0)の場合と同じ(今回の場合0)であれば連続になります。
方法1、方法2はどちらの解き方を用いても問題ありません。

-電気電子
-微分積分