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電気電子

2変数関数f(x,y)の連続性

2016/08/30

問題

次の関数の連続性を調べよ
f(x,y)=\begin{cases}\frac{x+y^{2}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}} &(x,y)\neq (0,0)\\\hfil 0 \hfil &(x,y)= (0,0) \end{cases}

解答の方針

(x,y)≠(0,0)のときの関数が連続であることを確認してから、 \frac {x+y^2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}} のx,yを(0,0)に近づけていった際に(x,y)=(0,0)のときの値と同じ(この問題では0)になるかどうかを調べていきます。

解答

(x,y)≠(0,0)のとき

x, x^{2}, y^{2} が連続であることは明らかで、それらの和は連続である(∵2変数関数の連続性の性質)
よって(x,y)≠(0,0)のとき連続

(x,y)=(0,0)のとき

方法1

点P(x,y)がy=mxに沿って原点O(0,0)に近づくものとすると
\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac {x+y^{2}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}
=\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac {x+{(mx)}^{2}}{\sqrt {x^{2}+{(mx)}^{2}}}
=\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac {1+{m}^{2}x}{\sqrt {1+{m}^{2}}}
=\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac {1}{\sqrt {1+{m}^{2}}}

となり、\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} f(x,y) はmの値によって変化するため存在しない。
よって点(0,0)では不連続。

方法2

x=rcosθ, y=rsinθ とおくと
\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac {x+y^{2}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}
=\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac {r \cos \theta +{(r \sin \theta)}^{2}}{\sqrt {{(r \cos \theta)}^{2}+{(r \cos \theta)}^{2}}}
=\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac {r \cos \theta +{(r \sin \theta)}^{2}}{r}
=\lim _{(x,y) \rightarrow (0,0)} \cos \theta +{r{\sin}^{2} \theta}

となり、\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y) はθの値によって変化するため存在しない。
よって点(0,0)では不連続。

解説・補足

この問題では点(0,0)で不連続となりましたが、当然(x,y)≠(0,0)のときの関数を(x,y)=(0,0)に近づけていった値が(x,y)=(0,0)の場合と同じ(今回の場合0)であれば連続になります。
方法1、方法2はどちらの解き方を用いても問題ありません。

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