一次独立と一次従属の判定

2015/12/01 2019/03/31

問題

次のベクトルの組は1次独立か1次従属か判定せよ。一次従属の場合非自明な1次関係式を一つ求めよ。
$(1)\begin{bmatrix}2\\1\\3\end{bmatrix},\begin{bmatrix}4\\-1\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\3\\1\end{bmatrix}$
$(2)\begin{bmatrix}1\\ 2\\ -2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}4\\-1\\3\end{bmatrix},\begin{bmatrix}7\\5\\ -3\end{bmatrix}$

解答の方針

与えられた行列をそれぞれx,y,zとすると
ax+by+cz=0となるa,b,cを計算し、それらがすべて0になれば一次独立、0以外の数が一つでもあれば一次従属となります。

解答

問(1)

$a\begin{bmatrix}2\\1\\3\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}4\\-1\\2\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}2\\3\\1\end{bmatrix}=0$
とすると、a=b=c=0となり一次独立

問(2)

$a\begin{bmatrix}1\\2\\ -2\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}4\\-1\\3\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}7\\5\\ -3\end{bmatrix}=0$
とすると、行列式
$\begin{vmatrix}1 4 7\\2 -4 5\\-2 3 4\end{vmatrix}$ を変形すると
$\begin{vmatrix}1 4 7\\0 1 1\\0 0 0\end{vmatrix}$
となり、rankが2となるので自由度が1

よってc=kとおくとa=-3k, b=-k. a,b,cが0ではないので一次従属。

非自明な一次関係式の例として、k=1とした場合
$-3\begin{bmatrix}1\\2\\ -2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}4\\-1\\3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}7\\5\\ -3\end{bmatrix}=0$
が挙げられる。

解説・補足

一次独立だった場合は行列式なんて使わずほいほい代入していけば0が出てくるのですが、一次従属の場合はいくらやっても解が出せない場合があるので行列式を変形してrankを出しましょう。

-電気電子
-線形代数