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電気電子

2変数関数のテイラーの定理

2016/08/30

問題

関数f(x,y)=sin(x+y)に2次までのテイラーの定理を適用せよ。ただし剰余項は R_3 と書くこと。

解答の方針

2変数関数のテイラーの定理

関数f(x,y)が点(a,b)を含む領域Dでn次までの連続な偏導関数をもてば、(a+h,b+k)∈Dのとき、次のθが存在する。
f(a+h, b+k)=f(a,b)+\frac{1}{1!} \left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right) f(a,b)+\frac{1}{2!} \left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right)^2 f(a,b)+\cdots +\frac{1}{(n-1)!} \left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right)^{n-1} f(a,b)+\frac{1}{n!} \left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right)^{n}f(a+\theta h,b+\theta k)

を利用して解きます。
今回は「2次までのテイラーの定理を適用」とのことですが、注意すべきなのは「計算するのはn=2まで。表記するのはn=3まで」という点です。
n=3の部分はR_3 として置き換えます。よってθなどは今回無視できます。

このように、点の位置が指定されていない問題では(x,y)をそのまま点(a+h,b+k)として計算します。
(x,y)=(a+h, b+k) のとき h=x-a, k=y-b

解答

点(a,b)をf(x,y)上の点とすると、テイラーの定理から

\begin{aligned}    f(x,y) &= f(a,b) + \frac{1} {1!} \left((x-a)f_x(a,b) + (y-b)f_y(a,b) \right) \\         &+ \frac{1}{2!} ((x-a)^2 f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b) \\         &{}~~~~~~~~~~~+ (y-b)^2 f_{yy}(a,b) )\\         &+ \frac{1}{3!} ( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} )^{3}f(a+\theta h,b+\theta k)\\         \\         &=sin(a+b)+(x-a)cos(a+b)+(y-b)cos(a+b)\\ &-\frac{1}{2}\left( (x-a)^2 sin(a+b)+(y-b)^2 sin(a+b)\right)-(x-a)(y-b)sin(a+b)\\ &+R_3 \end{aligned}

解説・補足

「点 (2,1) において2次の項までテイラーの定理を適用せよ」などの条件があれば当然(x,y)=(2+h, 1+k) などとします。

このあたりの分野は、言ってることは簡単なのに表記や説明がクソすぎて理解できないという一面があるので、それほど身構えずに進みましょう。

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